5. Sebuah benda jatuh akibat pengaruh gravitasi dengan kecepatan awal nol pada medium berhambatan dengan nilai konstanta peredaman 3 s-1 dan konstanta gravitasi

Diketahui
[tex]k = 3s^{-1}[/tex]
[tex]v_0=0 \frac{m}{s} [/tex]
[tex]g=9,8 \frac{m}{s^2} [/tex]

dan banyak variabel yang tidak diketahui seperti geometri dan massa objek. Hal tersebut mempengaruhi faktor geometri benda yang bersifat eksponensial. Jadi saya akan menjawab pertanyaan ini dengan pendekatan.

Asumsikan geometri objek memberikan nilai n = 1, dan massa objek = m

Tinjau diagram gaya pada benda, asumsikan arah ke bawah (se arah dengan gerak benda) itu positif. Maka didapatkan persamaan

∑[tex]F=ma[/tex]
[tex]F_g-F_v=ma[/tex] ... (1)

dimana [tex]F_g[/tex] adalah gaya akibat gravitasi dan [tex]F_v[/tex] adalah gaya hambat yang besarnya

[tex]F_v=kv^n=kv[/tex]  n=1 seperti asumsi yang diambil diatas.

dengan nilai Fg dan Fv maka didapatkan bentuk baru dari persamaan (1)

[tex]mg-kv=ma[/tex] ... (2)

karena kita tahu bahwa

[tex]a= \frac{dv}{dt} [/tex]

persamaan (2) dapat menjadi

[tex]mg-kv=m \frac{dv}{dt} [/tex]  dan dapat diubah menjadi

[tex]dt= \frac{1}{mg-kv}dv [/tex]

lakukan integral pada kedua ruas

[tex] \int\limits^t_0 {} \, dt = \int\limits^{v}_{v_0} {\frac{1}{mg-kv}} \, dv [/tex]

akan didapatkan

[tex]t= -\frac{1}{k} ln( \frac{|mg-kv|}{|mg-kv_0|})[/tex]

atau

[tex]-kt=ln (\frac{mg-kv}{mg-kv_0})[/tex]

dengan melakukan eksponensial e terhadap kedua ruas didapatkan

[tex]e^{-kt}=\frac{mg-kv}{mg-kv_0}[/tex]

diketahui bahwa [tex]v_0 = 0 [/tex]

maka

[tex]e^{-kt}=\frac{mg-kv}{mg-kv_0}=\frac{mg-kv}{mg-0}=\frac{mg-kv}{mg}[/tex]

[tex]mg-mg.e^{-kt}=kv[/tex]

dan didapatkan fungsi kecepatannya adalah sebagai berikut

[tex] v(t)= \frac{mg}{k}(1-e^{-kt})[/tex]

dengan mengintegralkan terhadap t diapatkan fungsi posisi sebagai berikut

[tex]x(t)= x_0 + \frac{mg}{k^2}(e^{-kt}-kt)[/tex]

Menjawab pertanyaan

a. v(2)

[tex]v(2)= \frac{m(9,8)}{3}(1-e^{-6})=3,26m(1-e^{-6})[/tex]

nilai [tex](1-e^{-6})[/tex] mendekati 1 karena [tex]e^{-kt}[/tex] saat t = 2 mendekati nilai 0, maka berlaku

[tex]v(2) = 3,26m[/tex] dengan m adalah massa objek

b. x(2)

[tex]x(2)= x_0 + \frac{m(9,8)}{9}(e^{-6}-6)[/tex]

nilai dari [tex](1-e^{-6})[/tex] mendekati 1 karena [tex]e^{-kt}[/tex] saat t = 2 mendekati nilai 0, maka berlaku

[tex]x(2)=-6,53m[/tex] dengan m adalah massa objek